评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确构造了函数 \( f(x) = \sin x - \frac{2}{\pi}x \)，并计算了导数 \( f'(x) = \cos x - \frac{2}{\pi} \) 和二阶导数 \( f''(x) = -\sin x < 0 \)。通过分析 \( f'(x) \) 的单调性，得出存在唯一驻点 \( x_0 \)，并利用 \( f(0) = 0, f(\frac{\pi}{2}) = 0 \) 得出 \( f(x) \geq 0 \)。思路完整，逻辑正确。但在结论处有笔误："故 \( f(x) \geq \frac{2}{\pi}x \)" 应为 "故 \( \sin x \geq \frac{2}{\pi}x \)"，但根据上下文可判断为表述不清，不影响核心逻辑。扣1分。

得分：5分

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生识别出这是"1^∞"型极限，并尝试用指数化方法处理，但后续计算不完整且存在错误。将极限写成 \( e^{\frac{1}{n}\ln[\int_{0}^{1}(1+\sin\frac{\pi t}{2})^n dt]} \) 后没有继续计算，缺少关键的夹逼定理应用和积分估计。标准答案通过上下界估计得出极限为2的方法更为直接有效。学生作答未能完成计算，思路不完整。

得分：1分

题目总分：5+1=6分