评分及理由

（Ⅰ）得分及理由（满分6分）

学生正确求解了微分方程，得到了通解形式 \(y = 1 + Cx^6\)，并利用初始条件 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 正确求出 \(C = \frac{1}{3}\)，最终得到 \(y(x) = 1 + \frac{1}{3}x^6\)。虽然学生作答中初始条件写为 \(y(3) = 10\)，但根据上下文判断应为 \(y(\sqrt{3}) = 10\) 的误写，且最终结果正确，因此不扣分。该部分解答完整且正确，得6分。

（Ⅱ）得分及理由（满分6分）

学生正确设点 \(P(x_0, y_0)\)，计算了导数 \(y'(x_0) = 2x_0^5\) 和法线斜率 \(k = -\frac{1}{2x_0^5}\)，并正确写出法线方程和截距 \(I_P = y_0 + \frac{1}{2x_0^4} = \frac{1}{3}x_0^6 + \frac{1}{2x_0^4} + 1\)。但在求导时，学生错误计算了 \(I_P'(x_0) = 2x_0^5 - \frac{1}{6x_0^5}\)（正确应为 \(2x_0^5 - 2x_0^{-5}\)），导致后续极值点计算错误（学生得到 \(x_0 = 12^{-1/10}\)，正确应为 \(x_0 = 1\)）。由于核心逻辑错误（求导错误导致极值点错误），扣3分。该部分得3分。

题目总分：6+3=9分