评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案形式为 \(x^2y+xy^2+\frac{y^3}{3}=x-1\)，这是一个隐函数表达式。而标准答案是 \(y=\arctan(x+y)-\frac{\pi}{4}\)，也是隐函数形式。

我们需要验证学生答案是否满足原微分方程 \(y'=\frac{1}{(x+y)^2}\) 和初始条件 \(y(1)=0\)：

1. 验证初始条件：代入 \(x=1, y=0\) 到学生答案： 左边 = \(1^2\cdot 0 + 1\cdot 0^2 + \frac{0^3}{3} = 0\)， 右边 = \(1-1=0\)，满足初始条件。
2. 验证微分方程：对学生答案 \(x^2y+xy^2+\frac{1}{3}y^3=x-1\) 两边求导： 左边导数 = \(2xy + x^2y' + y^2 + 2xyy' + y^2y'\) 右边导数 = \(1\) 整理得：\((x^2 + 2xy + y^2)y' + (2xy + y^2) = 1\) 即：\((x+y)^2y' + y(2x+y) = 1\) 解得：\(y' = \frac{1 - y(2x+y)}{(x+y)^2} = \frac{1 - 2xy - y^2}{(x+y)^2}\)
3. 这与原方程 \(y'=\frac{1}{(x+y)^2}\) 比较，需要验证 \(\frac{1 - 2xy - y^2}{(x+y)^2} = \frac{1}{(x+y)^2}\)，即要求 \(1 - 2xy - y^2 = 1\)，也就是 \(2xy + y^2 = 0\)。
4. 这个条件并不恒成立，说明学生答案不满足原微分方程。

因此，学生的答案虽然满足初始条件，但不满足微分方程本身，存在逻辑错误。

得分：0分

题目总分：0分