评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第一次识别结果中，二阶偏导计算存在多处错误：

• \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}\) 的计算过程中出现了 \(2f_{11}'' + 3f_{12}''\) 的错误表达式，且后续展开式系数混乱（如出现 \(6f_{12}''+6f_{21}''\) 应合并为 \(12f_{12}''\)）。
• \(\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}\) 的计算中错误地将 \(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\) 分开处理（实际上 \(f_{12}'' = f_{21}''\)）。
• 代入方程时系数计算错误，但最终得到 \(25\frac{\partial f}{\partial u\partial v}=1\) 的结论正确。

第二次识别结果中：

• 正确计算了 \(\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 4f_{11}'' + 6f_{12}''+6f_{21}'' + 9f_{22}''\)（应合并为 \(4f_{11}'' + 12f_{12}'' + 9f_{22}''\)）。
• \(\frac{\partial^2 g}{\partial x\partial y}\) 仍错误分开 \(f_{12}''\) 和 \(f_{21}''\)。
• 但最终代入化简时，错误系数相互抵消，得到 \(25f_{12}''=1\) 的结论正确。

由于两次识别中至少有一次（第二次）通过计算得到正确结论 \(\frac{\partial^2 f}{\partial u\partial v}=\frac{1}{25}\)，且核心逻辑正确，但过程中存在偏导计算不规范的问题。扣2分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分6分）

第一次识别结果：

• 正确写出 \(\frac{\partial f}{\partial u} = \frac{v}{25} + g(u)\)。
• 利用条件 \(\frac{\partial f(u,0)}{\partial u} = ue^{-u}\) 得到 \(g(u) = ue^{-u}\) 正确。
• 积分得到 \(f = \frac{uv}{25} - (u+1)...