评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答与标准答案思路一致，均采用极坐标变换计算二重积分。具体分析如下：

• 极坐标变换过程正确，正确推导出两条曲线的极坐标方程 \( r = \frac{1}{\sqrt{1 - \cos\theta\sin\theta}} \) 和 \( r = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1 - \cos\theta\sin\theta}} \)。
• 积分区域设置正确，θ 从 0 到 π/3，r 在两个曲线之间。
• 被积函数变换正确，将 \( \frac{1}{3x^2 + y^2} \) 转换为极坐标形式 \( \frac{1}{r^2(3\cos^2\theta + \sin^2\theta)} \)，并乘以 r。
• 对 r 的积分计算正确，得到 \( \frac{1}{2}\ln 2 \)。
• 对 θ 的积分处理正确，通过 \( \sec^2\theta \) 和代换 \( t = \tan\theta \) 转化为 \( \int \frac{1}{3 + t^2} dt \)。
• 最终积分计算和结果 \( \frac{\sqrt{3}\pi \ln 2}{24} \) 正确。

虽然第2次识别中有一个小笔误（被积函数分母写成了 \( 3r^2\cos^2\theta + r^3\sin^2\theta \)），但根据上下文判断为识别错误，且后续计算仍按正确表达式进行，因此不扣分。

得分：12分

题目总分：12分