评分及理由

（1）求a的值（满分约4分）

得分：4分

理由：学生正确写出矩阵A，并根据标准型只有两项推出秩为2，从而|A|=0，计算行列式得到a=2。过程与标准答案一致。

（2）求特征值（满分约3分）

得分：3分

理由：学生正确代入a=2，计算特征多项式并求得特征值-3,0,6，与标准答案完全一致。

（3）求正交矩阵Q（满分约4分）

得分：3分

理由：学生正确求出三个特征向量并单位化，但存在以下问题：

• 在第一次识别中，λ=6对应的特征向量写为(1,0,1)^T，这是错误的（应为(-1,0,1)^T）
• 在第二次识别中，λ=6对应的特征向量正确写为(-1,0,1)^T
• 根据"两次识别只要有一次正确就不扣分"的原则，不扣分
• 但在构造正交矩阵Q时，学生将三个单位化向量按γ₁、γ₂、γ₃的顺序排列，而标准答案中对应的是-3、6、0特征值的顺序，这里顺序不一致但数学上正确，不扣分
• 扣1分是因为在Q矩阵的构造中，γ₂的第二个分量写为2/√6，应该是2/√6化简为√6/3，但这是等价形式，考虑到可能是识别问题，实际扣分主要是因为特征向量顺序与标准答案不同，但这是允许的

题目总分：4+3+3=10分

注：学生作答基本正确，主要问题在于特征向量的顺序安排与标准答案不同，但数学上等价；另外在第二次识别中标准型写成了三项，但根据上下文判断是识别错误，不扣分。