评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生作答的两次识别结果分别为：

• 第1次：\(C_{1}e^{x}+e^{-\frac{1}{2}}(C_{2}\cos^{\frac{\sqrt{3}}{2}}x + C_{3}\sin^{\frac{\sqrt{3}}{2}}x)\)
• 第2次：$C_{1}e^{x}+e^{-\frac{1}{2}}(C_{2}\cos\frac{\sqrt{3}}{2}x + C_{3}\sin\frac{\sqrt{3}}{2}x)$

标准答案为：\(y=c_{1} e^{x}+c_{2} x e^{x}+c_{3} x^{2} e^{x}\)。

分析：

1. 特征方程为 \(r^3 - 1 = 0\)，解得 \(r = 1\) 和 \(r = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\)。
2. 标准答案对应三重实根 \(r=1\) 的情况，通解为 \(y = c_1 e^x + c_2 x e^x + c_3 x^2 e^x\)。
3. 学生作答对应一个实根和一对共轭复根的情况，通解应为 \(y = c_1 e^x + e^{-\frac{1}{2}x} \left( c_2 \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + c_3 \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right)\)。
4. 学生作答中：
   • 第1次识别有误写（如 \(\cos^{\frac{\sqrt{3}}{2}}x\) 应为 \(\cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)\)），但根据误写不扣分原则，不扣分。
   • 第2次识别正确表达了复根对应的解形式。
5. 然而，学生作答与标准答案在数学上不等价：标准答案是三重实根的解，学生作答是单实根加共轭复根的解，这是不同的通解形式，且学生作答未覆盖三重根情况，因此逻辑错误。

综上，学生作答存在逻辑错误（解形式错误），不符合标准答案，因此得0分。

题目总分：0分