评分及理由

（1）微分方程求解部分（满分4分）

得分：4分

理由：学生正确求解了一阶线性微分方程。首先将方程化为标准形式，然后正确应用通解公式，通过积分计算得到通解为 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + Cx^2\)，最后代入初始条件 \(y(1)=\frac{1}{4}\) 确定常数 \(C=\frac{1}{4}\)，得到特解 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{4}x^2\)。虽然与标准答案形式略有不同（顺序交换），但实质相同，思路和计算完全正确。

（2）导数计算部分（满分2分）

得分：2分

理由：学生正确计算了导数 \(y'(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{x}+x) = \frac{1}{2}(x-\frac{1}{x})\)，与标准答案一致。

（3）弧长计算部分（满分6分）

得分：6分

理由：学生正确应用弧长公式 \(L=\int_{1}^{e}\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx\)，通过代数变换将根号内表达式化为完全平方形式 \(\sqrt{\frac{1}{4}(x+\frac{1}{x})^2}\)，然后正确积分得到 \(\frac{1}{4}(e^2+1)\)，与标准答案完全一致。

题目总分：4+2+6=12分