评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生第(I)问的解答存在以下问题：

• 第一次识别中给出的矩阵A错误：应为 \(\begin{pmatrix}3&0&1\\0&4&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)，但学生写成了 \(\begin{pmatrix}3&0&0\\0&4&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)，这是明显的逻辑错误。
• 第二次识别中矩阵A正确，特征值和特征向量的计算也正确。
• 但正交矩阵Q的构造有严重错误：学生给出的 \(Q=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&-1\end{pmatrix}\) 不是正交矩阵（列向量未单位化，且第三列与第一列不正交）。
• 虽然最终得到了正确的标准形，但由于正交矩阵构造错误，这是关键步骤的逻辑错误。

根据评分标准，逻辑错误需要扣分。考虑到特征值特征向量计算正确，但正交变换的核心步骤错误，扣3分。

得分：6 - 3 = 3分

（2）得分及理由（满分6分）

学生第(II)问的解答：

• 采用了与标准答案不同的方法，通过代数变形证明最小值。
• 关键步骤：将分子变形为 \(4(x_1^2+x_2^2+x_3^2)-(x_1^2+x_3^2-2x_1x_3)\)，然后得到 \(4-\frac{(x_1-x_3)^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}\)。
• 学生写的是 \(\frac{x_1^2+x_3^2-2x_1x_3}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \leq 2\)，这个不等式虽然正确，但不够精确。实际上应该是 \(\frac{(x_1-x_3)^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2} \leq 2\)，且等号可以取到。
• 思路正确，证明过程基本完整，最终得出了正确结论。

根据评分标准，思路正确不扣分。虽然表达不够严谨，但核心逻辑正确。

得分：6分

题目总分：3+6=9分