评分及理由

（1）得分及理由（满分12分）

学生作答存在以下问题：

• 在第一次识别中，题目给出的曲线方程是 \(x^{2}+y^{2}-xy=1\) 和 \(x^{2}+y^{2}-xy=2\)，但学生误写为 \(x^{2}+y^{2}+xy = 1\) 和 \(x^{2}+y^{2}-xy = 2\)，其中第一个方程符号错误。根据禁止扣分规则，若判断为误写则不扣分，但这里需要检查后续推导是否因此产生逻辑错误。
• 在第一次识别中，被积函数误写为 \(\frac{1}{3x^{2}+2y^{2}}\)，与题目 \(\frac{1}{3x^{2}+y^{2}}\) 不一致，这属于逻辑错误，扣2分。
• 在极坐标转换中，学生正确写出 \(D\) 的范围和积分顺序，但被积函数分母在第一次识别中错误，导致后续计算基于错误表达式。第二次识别中修正为正确被积函数，因此以第二次识别为准。
• 积分计算过程中，学生正确进行极坐标变换，得到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta} d\theta \int_{\frac{1}{\sqrt{1-\sin\theta\cos\theta}}}^{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1-\sin\theta\cos\theta}}} \frac{1}{r} dr\)，并正确计算内积分为 \(\ln\sqrt{2}\)。
• 在计算 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{3\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta} d\theta\) 时，学生正确转换为 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d\tan\theta}{3+\tan^{2}\theta}\)，并积分得到 \(\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\frac{\tan\theta}{\sqrt{3}}\)。
• 最终结果学生计算为 \(\frac{\pi \ln\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}\)，而标准答案为 \(\frac{\sqrt{3}\ln2}{24}\pi\)。数值上，\(\ln\sqrt{2} = \frac{1}{2}\ln2\)，代入学生结果得...