评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生答案中，通过拉格朗日中值定理得到 \(x_{n+1}-x_n = (x_n - x_{n-1}) f'(\xi_n)\)，并进一步递推得到 \(x_{n+1}-x_n = \prod_{k=2}^n f'(\xi_k)(x_2-x_1)\)。由于已知 \(0 < f'(x) < \frac{1}{2}\)，因此 \(|f'(\xi_k)| < \frac{1}{2}\)，从而 \(|x_{n+1}-x_n| < \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} |x_2-x_1|\)。这说明级数 \(\sum |x_{n+1}-x_n|\) 被收敛的几何级数控制，因此绝对收敛。学生的推导思路正确，但表达上存在一些不严谨之处（如第一次识别中写为 \(f'(\xi)^{n-1}\)，但第二次识别已修正为连乘形式），核心逻辑无误。根据评分标准，思路正确不扣分，因此得5分。

（II）得分及理由（满分5分）

学生答案中未对第二部分进行证明。标准答案中，第二部分需要证明极限存在且介于0和2之间。学生仅在第一部分中推导了相邻项差值的极限为0，但未证明数列极限存在，也未证明极限值的范围。因此，第二部分完全未作答，得0分。

题目总分：5+0=5分