评分及理由

（I）得分及理由（满分6分）

学生作答中，特征值正确（0, -2, -1），但特征向量存在错误：

• λ=0时，特征向量应为(3,2,2)，但学生给出(-3,-2,2)，方向相反但仍是特征向量，不扣分。
• λ=-2时，特征向量应为(1,2,0)，学生给出(1,2,0)正确。
• λ=-1时，特征向量应为(1,1,0)，学生给出(1,1,0)正确。

但相似对角化过程中：

• 矩阵P的构造有误（第一次识别中P的第三行是(2,0,0)，但特征向量ξ₁的第三个分量是2，应该整体作为一列）
• 计算A^{99}时，学生计算的是A^{100}，且结果与标准答案差异较大
• 最终A^{99}的结果完全错误

扣分：特征值正确得2分，特征向量基本正确得1分，相似对角化思路正确得1分，但计算结果完全错误扣2分。

得分：2分

（II）得分及理由（满分5分）

学生正确推导出B^{100} = BA^{99}的关系，这是关键步骤。

但是：

• 使用了错误的A^{99}矩阵进行计算
• 最终β₁, β₂, β₃的表达式与标准答案差异很大
• β₃的表达式中出现了(1-2^{100})α₂，而标准答案是(2-2^{99})α₂

扣分：正确推导B^{100} = BA^{99}得3分，但使用错误矩阵导致结果错误扣2分。

得分：3分

题目总分：2+3=5分