评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \( \frac{6}{7}\sin x \)，而标准答案是 \( \frac{1}{5}\sin x + \frac{2}{5}\cos x \)。

该函数方程涉及周期函数和导数运算，需要利用傅里叶级数或特定系数法求解。学生答案仅包含正弦项，缺少余弦项，且系数也不匹配。

代入验证：若 \( f(x) = \frac{6}{7}\sin x \)，则 \( f'(x) = \frac{6}{7}\cos x \)，于是 \( f'(x+\pi) = \frac{6}{7}\cos(x+\pi) = -\frac{6}{7}\cos x \)。代入原方程得： \[ f(x) + 2f'(x+\pi) = \frac{6}{7}\sin x + 2\left(-\frac{6}{7}\cos x\right) = \frac{6}{7}\sin x - \frac{12}{7}\cos x \neq \sin x \] 不满足原方程。

因此答案错误，得0分。

题目总分：0分