评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生使用了分部积分法，设 \( u = \arctan\sqrt{e^x-1} \)，\( dv = dx \)，这是合理的初始步骤。但在计算 \( du \) 时出现了逻辑错误：

• 正确的导数应为 \( du = \frac{1}{1 + (\sqrt{e^x-1})^2} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{e^x-1}) dx = \frac{1}{e^x} \cdot \frac{e^x}{2\sqrt{e^x-1}} dx = \frac{1}{2\sqrt{e^x-1}} dx \)。
• 学生错误地写为 \( du = \frac{e^x}{2e^x\sqrt{e^x-1}} dx \)（虽然结果正确，但推导过程有误），并在后续步骤中错误地将积分转换为 \( \int x \cdot e^{-x} dx \)，这不符合标准答案的逻辑。

尽管学生最终通过分部积分法得到了一个表达式 \( x\arctan\sqrt{e^x-1} + (1+x)e^{-x} + C \)，但该结果与标准答案不一致，且未正确完成积分过程。因此，扣除逻辑错误分，得分为 2 分。

题目总分：2分