评分及理由

（1）得分及理由（满分11分中的部分分值，按题目结构划分）

学生使用递推法证明行列式|A|=(n+1)a^n，过程完整正确。第一步验证n=1,2的情况，第二步假设n=k成立，第三步证明n=k+1成立，数学归纳法运用恰当。虽然最后一行写的是"即任意n满足D_n=(n+1)a^n"，表述稍有瑕疵，但不影响证明逻辑。根据标准答案，这是正确的解法之一。得满分。

（2）得分及理由（满分11分中的部分分值，按题目结构划分）

学生正确指出有唯一解的条件是|A|≠0即a≠0。在计算x₁时，两次识别结果略有差异：第一次识别中D₁的行列式写法有误，但计算过程正确；第二次识别中D₁'的写法更规范。最终都得到正确结果x₁=n/[(n+1)a]。思路和结果都正确，得满分。

（3）得分及理由（满分11分中的部分分值，按题目结构划分）

学生正确指出a=0时有无穷多解。给出的基础解系ξ=(1,0,...,0)ᵀ和特解η=(0,1,0,...,0)ᵀ都是正确的，通解形式x=kξ+η也正确。虽然矩阵A在a=0时的具体形式写的不够完整（缺少最后一行全零），但核心逻辑正确，不影响得分。得满分。

题目总分：按题目分值分配，三个小问都正确，得11分