评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答在第一步将极限求和转化为定积分时思路正确：识别出和式可以写成 \(\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n} \ln(1+\frac{k}{n})\)，并正确指出这对应于积分 \(\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx\)。这一步符合定积分的定义，应给予肯定。

但是，在第二步中，学生错误地使用了等价无穷小替换：在积分 \(\int_0^1 x \ln(1+x) \, dx\) 中，当 \(x\) 在区间 \([0,1]\) 上变化时，\(x\) 并不趋于 0（积分上限是 1，不是 0），因此 \(\ln(1+x) \sim x\) 的替换在整个积分区间上不成立。这是一个严重的逻辑错误，导致后续计算错误。

第三步计算 \(\int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}\) 本身是正确的，但由于基于错误的等价替换，整个解答过程得出错误答案 \(\frac{1}{3}\)，而正确答案应为 \(\frac{1}{4}\)。

考虑到第一步思路正确，但后续存在关键逻辑错误且最终答案错误，扣分应较多。根据打分要求，逻辑错误需扣分，且最终答案错误不能给满分。因此，本题得分扣减后为 4分（第一步正确得4分，第二步错误扣6分）。

题目总分：4分