评分及理由

（I）得分及理由（满分5分）

学生作答中，第一部分试图证明方程 \( f(x) = 0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在一个实根。学生首先由极限条件 \(\lim_{x \to 0^{+}} \frac{f(x)}{x} < 0\) 推出 \(\lim_{x \to 0^{+}} f(x) \to 0^{-}\) 并直接得出 \( f(0) < 0 \)。然而，标准答案中并未直接给出 \( f(0) < 0 \)，而是利用极限保号性得出在 \((0, \delta)\) 内 \( f(x) < 0 \)，从而存在点 \( x_0 \) 使得 \( f(x_0) < 0 \)，再结合 \( f(1) > 0 \) 和零点定理证明根的存在性。学生直接断言 \( f(0) < 0 \) 存在逻辑跳跃，因为 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处可能未定义或不连续，尽管极限条件暗示 \( f(0) \) 可能为 0 或负，但严格证明需通过保号性。此外，学生未明确说明 \( f(x) \) 的连续性（尽管可导隐含连续），但核心错误在于未正确应用保号性来证明存在负值点。因此，扣 2 分。理由：逻辑不严谨，未使用极限保号性详细论证存在 \( x_0 \) 使 \( f(x_0) < 0 \)，直接得出 \( f(0) < 0 \) 可能不成立（例如 \( f(0) = 0 \) 但导数负的情况）。得分：3 分（满分 5 分）。

（II）得分及理由（满分5分）

学生作答未提供第二部分的证明内容。标准答案中，第二部分通过构造 \( F(x) = f(x)f'(x) \) 并利用罗尔定理证明方程 \( f(x)f''(x) + (f'(x))^2 = 0 \) 在区间 \((0,1)\) 内至少存在两个不同实根。由于学生完全缺失此部分证明，根据评分要求，应扣全部分数。理由：未作答或证明缺失，无法得分。得分：0 分（满分 5 分）。

题目总分：3+0=3分