评分及理由

（1）对称性应用部分得分及理由（满分2分）

学生正确识别了区域D关于y轴对称，并利用奇偶性得出∬_D2x dxdy=0，将原积分简化为∬_Dx² dxdy + ∬_D1 dxdy。这一步思路完全正确，得2分。

（2）极坐标变换部分得分及理由（满分3分）

学生正确进行了极坐标变换：x=rcosθ, y=rsinθ，将区域D正确表示为r≤2sinθ。但在θ的积分范围上出现错误，应为θ∈[0,π]，而学生只取了[0,π/2]并乘以2。虽然对于x²的积分来说这样处理在数值上正确，但理论上不够严谨。考虑到思路基本正确，扣1分，得2分。

（3）面积计算部分得分及理由（满分2分）

学生识别出∬_D1 dxdy是区域D的面积，但将面积计算错误为2π。实际上区域D是圆心在(0,1)、半径为1的圆，面积应为π。这是一个逻辑错误，扣1分，得1分。

（4）积分计算部分得分及理由（满分4分）

学生在计算I₁=∬_Dx² dxdy时：
- 极坐标变换和积分顺序正确
- 对r的积分计算正确
- 但在计算∫cos²θsin⁴θ dθ时，虽然方法正确（使用三角恒等式），但最终数值计算错误
- 正确结果为π/4，学生得到33π/12
由于存在计算错误，扣2分，得2分。

题目总分：2+2+1+2=7分