评分及理由

（1）第一部分（必要性证明）得分及理由（满分6分）

学生第一部分证明了必要性：已知导函数严格单调增加，推出对任意三点满足所给不等式。该部分正确应用了拉格朗日中值定理，逻辑清晰，论证完整。虽然识别结果中出现了"α"（应为"a"）和变量符号差异（如y₁与η₁），但根据上下文判断为误写，不影响核心逻辑。因此该部分得满分6分。

（2）第二部分（充分性证明）得分及理由（满分6分）

学生第二部分证明了充分性：已知不等式成立，推出导函数严格单调增加。但该部分存在逻辑错误：

• 构造的F(x)在x₂处为0，且要求x > x₂时F(x) < 0
• 由此推出F'(x) < 0，即f'(ξ) < f'(x)
• 但ξ ∈ (x₁,x₂)是固定的，而x是变化的，只能得到f'(ξ) < f'(x)对x > x₂成立
• 这不能证明f'(x)在整个区间严格单调增加，因为无法证明对任意x < y都有f'(x) < f'(y)

该论证存在逻辑漏洞，不能完整证明充分性。因此扣3分，得3分。

题目总分：6+3=9分