评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生给出的答案是 \((\frac{1 + e}{2})^2\)，而标准答案是 \(\frac {1}{4}(e^{2}+1)^{2}\)。注意到 \(\frac {1}{4}(e^{2}+1)^{2} = \left(\frac{e^2 + 1}{2}\right)^2\)，而学生的答案是 \(\left(\frac{1 + e}{2}\right)^2\)。这里的关键区别在于指数：标准答案中是 \(e^2\)，而学生答案是 \(e\)（即 \(e^1\)）。

由于随机变量 \(X \sim B(2, \frac{1}{2})\)，其可能取值为 0, 1, 2，对应的概率分别为 \(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}\)。计算 \(E(e^{2X})\) 应为 \(\frac{1}{4} e^{0} + \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{4} e^{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} e^{2} + \frac{1}{4} e^{4}\)，化简后得 \(\frac{1}{4}(1 + e^2)^2\)。学生的答案中指数为 1，不符合 \(e^{2X}\) 的定义，因此是一个逻辑错误。

根据评分规则，逻辑错误需要扣分。尽管可能存在字符识别错误（如将 \(e^2\) 误识别为 \(e\)），但两次识别结果一致，且上下文没有明显支持误写的证据，因此判定为答案错误。

得分：0分（由于答案错误，且存在逻辑错误，不得分）。

题目总分：0分