评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是"2"，与标准答案一致。题目要求计算$f(1)$的值，已知$\varphi(1)=1$，$\varphi'(1)=5$，其中$\varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) d t$。

正确解法是：先对$\varphi(x)$求导，利用变上限积分求导法则和乘积法则，得到$\varphi'(x)=\int_{0}^{x^2} f(t)dt + 2x^2 f(x^2)$。代入$x=1$，利用已知条件$\varphi'(1)=5$和$\varphi(1)=1$，解出$f(1)=2$。

学生答案正确，得4分。

题目总分：4分