评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答存在多处逻辑错误：

• 第一步中，由 \(df(x,y)=(x+1)e^x dx+(y^2+2y)dy\) 积分得到 \(f(x,y)=xe^x+\frac{1}{3}y^3+y^2+C\) 是错误的，因为对 \(y\) 积分时系数应含 \(x\)，且未利用已知条件 \(f_{xy}''=2(y+1)e^x\)。
• 第二步中，错误地使用 \(f_y'(0,y)=2y+2\) 推导全微分，未正确结合混合偏导条件。
• 第三步求驻点时，误将 \(f_{xy}''=0\) 作为条件（第二次识别中已修正为 \(f_y'=0\)），但偏导数计算错误（正确应为 \(f_x'=(y^2+2y)e^x+(x+1)e^x\)）。
• 极值点计算错误（正确驻点为 \((0,-1)\)），且极值结果错误。

仅初始条件 \(f(0,y)=y^2+2y\) 使用正确，但整体思路混乱，核心步骤均错误。扣分依据：逻辑错误导致未正确求解函数表达式和驻点。

得分：2分（仅给步骤分，因正确使用了初始条件）。

题目总分：2分