评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生正确计算了 \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{2}\)。虽然学生直接使用洛必达法则，但标准答案中先证明了 \(g(x) \to +\infty\) 和 \(g'(x) \to +\infty\) 以确保洛必达法则的条件成立。不过题目中 \(f(x)\) 有连续二阶导数，且 \(g(x)=x^2f(x)\)，结合 \(\lim\limits_{x \to +\infty} g''(x)=1\) 可推出 \(g(x) \to +\infty\)（标准答案中有此推导），因此直接洛必达在本题条件下是可行的。思路正确，结果正确，不扣分。得5分。

（2）得分及理由（满分5分）

学生计算 \(\lim\limits_{x \to +\infty} xf'(x)\) 时，先写出 \(f'(x) = \frac{xg'(x) - 2g(x)}{x^3}\)（第二次识别结果正确，第一次识别有误写 \(g'(x)x - 2g'(x)\) 应为 \(g'(x)x - 2g(x)\)，但第二次识别正确，按第二次识别判断），然后得到 \[ \lim_{x\to+\infty} xf'(x) = \lim_{x\to+\infty} \frac{xg'(x) - 2g(x)}{x^2} = \lim_{x\to+\infty} \frac{g'(x)}{x} - \frac{2g(x)}{x^2}. \] 学生代入 \(\lim_{x\to+\infty} \frac{g'(x)}{x} = 1\) 和 \(\lim_{x\to+\infty} \frac{g(x)}{x^2} = \frac12\) 得到结果 0。 但 \(\lim_{x\to+\infty} \frac{g'(x)}{x}\) 并未事先求出，标准答案中是通过 \(\lim_{x\to+\infty} \frac{g'(x)}{2x} = \frac12\) 得到 \(\lim_{x\to+\infty} \frac{g'(x)}{x} = 1\)，而学生直接当作已知，缺少推导。不过由于 \(\frac{g'(x)}{x} = \frac{g'(x)}{2x} \times 2\)，且前面已算出 \...