评分及理由

（1）充分性证明得分及理由（满分6分）

学生正确给出了充分性证明：由 \( z(x,y) = f(x^2 - y^2) \) 出发，计算偏导数并代入方程验证成立。计算过程正确，逻辑完整。虽然第一次识别中出现了"\( z(x - y) = f(x^{2} - y^{2}) \)"的误写，但根据上下文判断为识别错误，不影响核心逻辑。得6分。

（2）必要性证明得分及理由（满分6分）

学生完全没有给出必要性的证明。必要性证明需要从方程 \( y\frac{\partial z}{\partial x} + x\frac{\partial z}{\partial y} = 0 \) 出发，通过变量代换等方法证明 \( z \) 只能是 \( x^2 - y^2 \) 的函数。学生只完成了充分性证明，必要性证明完全缺失。得0分。

题目总分：6+0=6分