评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(2^{n}+2^{n - 1}+2^{n - 2}\)，而标准答案是 \(2^{n+1}-2\)。我们需要判断这两个表达式是否相等。

计算学生答案：\(2^{n}+2^{n - 1}+2^{n - 2} = 2^{n-2}(2^2 + 2^1 + 1) = 2^{n-2}(4+2+1) = 7 \cdot 2^{n-2}\)

计算标准答案：\(2^{n+1}-2 = 2 \cdot 2^{n} - 2 = 2(2^{n} - 1)\)

显然 \(7 \cdot 2^{n-2} \neq 2(2^{n} - 1)\)，例如当 \(n=3\) 时：

• 学生答案：\(2^3+2^2+2^1 = 8+4+2 = 14\)
• 标准答案：\(2^{4}-2 = 16-2 = 14\)（巧合相等）

当 \(n=4\) 时：

• 学生答案：\(16+8+4 = 28\)
• 标准答案：\(2^5-2 = 32-2 = 30\)

两者不相等，说明学生的答案存在逻辑错误。虽然学生的答案是一个等比数列求和的形式，但与标准答案不符，因此不能得分。

得分：0分

题目总分：0分