评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生通过两种方法证明了向量组β₁, β₂, β₃是R³的一组基：

• 第一次识别中通过初等变换得到矩阵秩为3
• 第二次识别中计算了矩阵行列式为4≠0

两种方法都正确，思路清晰。虽然第一次识别中的初等变换表述不够严谨（直接写成了阶梯形矩阵），但核心逻辑正确。根据"思路正确不扣分"原则，给满分。

得分：5分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确建立了方程(β₁, β₂, β₃)x = (α₁, α₂, α₃)x，即过渡矩阵A满足Ax=x，转化为(A-I)x=0。

计算过程：

• 正确得到系数矩阵为[[1,0,1],[0,1,0],[2k,0,k]]
• 通过初等行变换得到[[1,0,1],[0,1,0],[0,0,-k]]
• 正确得出当k=0时有非零解
• 正确求出解空间为x₁=-x₃, x₂=0，基础解系为(-1,0,1)ᵀ

虽然最终答案中缺少"所有非零向量为cα₁-cα₃"的明确表述，但已经包含了足够的信息来确定所有非零向量。

得分：6分

题目总分：5+6=11分