评分及理由

（1）体积表达式建立（满分2分）

学生正确写出了旋转体体积公式 \(V(t) = \pi \int_t^{2t} x e^{-2x} dx\)，与标准答案一致。得2分。

（2）积分计算过程（满分4分）

学生使用分部积分法计算积分：
- 正确设 \(u = x, dv = e^{-2x}dx\)
- 正确求出 \(du = dx, v = -\frac{1}{2}e^{-2x}\)
- 分部积分公式应用正确
- 最终化简结果与标准答案等价
积分计算过程完整正确。得4分。

（3）求导及极值分析（满分6分）

学生进行了求导：
- 求导表达式 \(V'(t) = 2e^{-4t} - 4e^{-4t}(2t + \frac{1}{2}) - e^{-2t} + 2e^{-2t}(t + \frac{1}{2})\) 虽然形式与标准答案不同，但经过化简是等价的
- 但学生错误地判断了导数的符号：说"当 \(t > 0\) 时 \(V'(t) < 0\)"，这是错误的
- 学生没有找到正确的极值点 \(t = \ln 2\)
- 也没有计算最大值 \(V(\ln 2)\)
由于在极值分析这个关键步骤出现严重错误，扣4分。得2分。

题目总分：2+4+2=8分