评分及理由

（1）求a,b的值（满分6分）

得分：6分

理由：学生正确计算了特征多项式，得到特征值为b,1,3。正确分析了两种情况b=1和b=3，并分别求出对应的a值。在b=1时得到a=1，在b=3时得到a=-1，与标准答案完全一致。

（2）求可逆矩阵P（满分6分）

得分：4分

理由：

在b=1,a=1的情况下：

• 特征值1对应的特征向量α₁=(-1,1,0)ᵀ和α₂=(0,0,1)ᵀ正确
• 特征值3对应的特征向量α₃=(1,1,1)ᵀ正确
• 但矩阵P的构造有误，第二行应为[1,0,1]而不是[1,0,1]（识别问题），且第三行应为[0,1,1]

在b=3,a=-1的情况下：

• 特征值3对应的特征向量α₁=(1,1,0)ᵀ和α₂=(0,0,1)ᵀ正确
• 特征值1对应的特征向量α₃=(-1,1,0)ᵀ错误，应为(-1,1,1)ᵀ
• 矩阵P的构造有误

扣2分：一处特征向量计算错误，多处矩阵构造错误。

题目总分：6+4=10分