评分及理由

（1）思路拆分得分及理由（满分2分）

学生正确地将被积函数拆分为 \( \iint_D 1 \, d\sigma - 2\iint_D \frac{xy}{x^2+y^2} \, d\sigma \)，思路正确。得2分。

（2）计算 \( I_1 \) 得分及理由（满分3分）

学生将区域 \( D \) 的面积计算为四分之一圆面积加三角形面积，但三角形面积计算错误：正确应为 \( \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2 \)，而学生第一次识别结果为1，第二次识别结果修正为2，但最终 \( I_1 \) 值在第二次识别中正确为 \( \pi + 2 \)。由于识别问题导致第一次结果有误，但第二次正确，不扣分。得3分。

（3）计算 \( I_2 \) 得分及理由（满分7分）

学生正确使用极坐标变换，但在计算 \( I_4 \) 时积分下限错误：正确下限应为 \( r = \frac{2}{\sin\theta - \cos\theta} \)，但学生误写为 \( \sin\theta - \cos\theta \)，导致后续计算全部错误。此逻辑错误严重，扣4分。此外，\( I_4 \) 的计算过程复杂且结果错误，但鉴于部分步骤正确，给予部分分数。得3分。

题目总分：2+3+3=8分