评分及理由

（1）斯托克斯公式应用部分得分及理由（满分4分）

学生正确应用了斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分，但在行列式计算中存在错误：

• 行列式第一行应为dydz, dzdx, dxdy，学生写作dxdz, dydz, dxdv（识别错误）
• 被积函数识别有误：2xz²识别为2x²z²
• 展开结果错误：正确应为-2xzdydz + z²dxdy，学生得到z²dxdy+(2z-4xz)dydz

扣分：由于存在实质性计算错误，扣2分。得分：2分

（2）补面法应用部分得分及理由（满分4分）

学生正确采用了补面法，添加了三个坐标平面上的曲面，方向描述基本正确。但在曲面定义和方向描述上存在识别错误：

• Σ₁方向应为"左侧"而非"后侧"
• Σ₃方向应为"后侧"而非"左侧"

扣分：方向描述错误但不影响核心思路，扣1分。得分：3分

（3）高斯公式计算部分得分及理由（满分4分）

学生正确应用高斯公式计算封闭曲面积分，但在计算过程中存在严重错误：

• 向量场分量识别错误：P = 2z-4xz应为-2xz
• 散度计算错误：正确应为(-2z+2z)=0，学生计算为(-4z+2z)=-2z
• 积分区域计算错误：4x²+y²≤1-z²的面积为π(1-z²)/2，但学生计算有误
• 最终结果计算错误：正确应为0，学生得到-1/4

扣分：存在多个实质性计算错误，扣3分。得分：1分

题目总分：2+3+1=6分