评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生第一次识别结果中矩阵写为 \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\)，其中第一行第一列元素错误，应为1，但第二次识别结果正确给出 \(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}\)。根据禁止扣分规则，由于存在识别错误可能性，且第二次结果正确，不扣分。得4分。

（2）得分及理由（满分4分）

学生正确计算特征值为0,0,14，但特征向量求解有误：

• 对于 \(\lambda = 0\)，基础解系应为满足 \(x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0\) 的线性无关向量，但学生给出的 \([1,0,-1]^T\) 和 \([5,-4,1]^T\) 虽线性无关，但未验证是否正交或单位化过程正确。
• 正交矩阵 \(Q\) 的构造中，第一次识别结果单位化错误（如第一列模长非1），第二次识别结果中第一列 \([1/\sqrt{2}, 0, -1/\sqrt{2}]^T\) 不满足与标准答案特征向量方向一致，且未验证正交性。
• 标准形正确写为 \(14y_3^2\)，但特征向量和正交变换过程存在逻辑错误，扣2分。

得2分。

（3）得分及理由（满分4分）

学生正确指出 \(y_3 = 0\) 时 \(f=0\)，并通过 \(X = QY\) 给出解形式。但解的表达依赖于第（2）问中错误的 \(Q\)，导致最终解不正确。由于思路正确但计算继承错误，扣2分。

得2分。

题目总分：4+2+2=8分