评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生作答中给出了面积的计算公式 \( S=\int_{1}^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{1 + x^{2}}}dx \) 是正确的，并采用了三角代换 \( x = \tan t \) 的方法。代入后得到 \( S=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec t}{\tan t}dt \)，这一步化简为 \( \int \frac{1}{\sin t} dt \) 后积分可得正确结果。虽然学生没有写出完整的积分计算过程，但思路正确且关键步骤无误。根据评分要求，思路正确不扣分，因此得满分6分。

（2）得分及理由（满分6分）

学生作答中未涉及第(2)问旋转体体积的计算，因此该部分得0分。

题目总分：6+0=6分