评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

该题考查参数方程曲线的曲率计算。标准答案为$\frac{2}{3}$，而学生给出的答案是$\frac{\ln 4}{3}$。

曲率计算公式为$K=\frac{|x'y''-x''y'|}{(x'^2+y'^2)^{3/2}}$。通过计算：

• $x'(t)=-3\cos^2 t\sin t$
• $y'(t)=3\sin^2 t\cos t$
• $x''(t)=6\cos t\sin^2 t-3\cos^3 t$
• $y''(t)=6\sin t\cos^2 t-3\sin^3 t$

代入$t=\frac{\pi}{4}$得：$x'=-\frac{3\sqrt{2}}{8}$, $y'=\frac{3\sqrt{2}}{8}$, $x''=\frac{3\sqrt{2}}{8}$, $y''=\frac{3\sqrt{2}}{8}$

分子$|x'y''-x''y'|=\left|-\frac{3\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{8}-\frac{3\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{8}\right|=\frac{18}{64}=\frac{9}{32}$

分母$(x'^2+y'^2)^{3/2}=\left(\frac{9}{32}+\frac{9}{32}\right)^{3/2}=\left(\frac{18}{32}\right)^{3/2}=\left(\frac{9}{16}\right)^{3/2}=\frac{27}{64}$

曲率$K=\frac{9/32}{27/64}=\frac{2}{3}$

学生答案$\frac{\ln 4}{3}$与正确结果不符，存在计算错误，因此得0分。

题目总分：0分