评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生正确写出了二次型的矩阵A，计算了特征多项式并得到特征值λ₁=2, λ₂=λ₃=4。在求特征向量时，λ=2对应的特征向量ξ₁=(1,0,-1)ᵀ正确；λ=4对应的特征向量中，ξ₂=(0,1,0)ᵀ正确，但ξ₃=(-1,0,-1)ᵀ有误，应为(1,0,1)ᵀ。单位化过程中，γ₁和γ₂正确，但γ₃应为(1/√2)(-1,0,1)ᵀ。正交矩阵Q的构造有误，最后一列应为(1/√2)(-1,0,1)ᵀ。标准形2y₁²+4y₂²+4y₃²虽然系数正确但顺序与标准答案不同，这可以接受。考虑到主要步骤正确但存在特征向量错误，扣2分。

得分：4分

（2）得分及理由（满分6分）

学生正确使用了正交变换的性质xᵀx=yᵀy，并利用标准形表达式进行放缩。虽然具体放缩步骤与标准答案略有不同，但思路正确，最终得到了正确的不等式关系。证明过程逻辑清晰，能够得出正确结论。考虑到证明方法有效且结论正确，给予满分。

得分：6分

题目总分：4+6=10分