2021年考研数学（二）考试试题 - 第17题回答

评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答中，第一步通分是正确的，得到：

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x + \sin x \int_0^x e^{t^2} dt - (e^x - 1)}{(e^x - 1)\sin x} \]

然后利用等价无穷小代换 \(e^x - 1 \sim x\) 和 \(\sin x \sim x\)，将分母化为 \(x^2\)，得到：

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x + \sin x \int_0^x e^{t^2} dt - (e^x - 1)}{x^2} \]

这一步也是合理的。但是，接下来学生直接写出结果 \(\frac{1}{2}\)，没有给出具体的极限计算过程。从标准答案可以看出，这个极限需要进一步拆分为两部分，并利用泰勒展开或洛必达法则进行计算：

\[ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x - e^x + 1}{x^2} + \lim_{x\to 0} \frac{\sin x \int_0^x e^{t^2} dt}{x^2} \]

第一部分计算得 \(-\frac{1}{2}\)，第二部分计算得 \(1\)，总和为 \(\frac{1}{2}\)。学生虽然得到了正确的结果，但中间的关键计算步骤缺失，属于逻辑不完整。考虑到最终答案正确，且前两步合理，但缺少必要的极限计算过程，扣2分。

得分：8分

题目总分：8分

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