评分及理由

（1）得分及理由（满分6分）

学生答案第一部分：

• 正确进行了变量代换 \( x = e^t \)，并计算了一阶导数 \(\frac{dy}{dx} = e^{-t}\frac{dy}{dt}\) 和二阶导数 \(\frac{d^2y}{dx^2} = -e^{-2t}\frac{dy}{dt} + e^{-2t}\frac{d^2y}{dt^2}\)，代入原方程后得到 \( y''(t) = 9y \)。
• 但后续解法出现逻辑错误：标准答案直接解常系数线性微分方程 \( y''(t) - 9y = 0 \)，而学生采用降阶法，令 \( p = y'(t) \)，得到 \( p\frac{dp}{dy} = 9y \)，分离变量得 \( p^2 = 9y^2 + 2c \)。此处常数应为 \( c_1 \)，学生写错但后续计算中正确使用 \( c = 0 \)。
• 利用初值条件 \( x=1, y=2, y'(1)=6, t=0 \) 代入得 \( c=0 \)，进而得到 \( p = 3y \)，即 \( \frac{dy}{dt} = 3y \)，解得 \( y = 2e^{3t} = 2x^3 \)，结果正确。
• 虽然方法不同，但思路正确且最终结果正确，根据评分要求“思路正确不扣分”，但过程中有逻辑错误（降阶法推导中常数形式写错，且未考虑通解形式），扣1分。
• 得分：5分（满分6分）。

（2）得分及理由（满分6分）

学生答案第二部分：

• 正确代入 \( y(x) = 2x^3 \)，得到积分 \( \int_{1}^{2} 2x^3\sqrt{4 - x^2}dx \)。
• 正确使用三角代换 \( x = 2\sin t \)，积分限变为 \( t = \frac{\pi}{6} \) 到 \( t = \frac{\pi}{2} \)，被积函数化为 \( 2 \cdot 8\sin^3 t \cdot 2\cos t \cdot 2\cos t dt = 64\sin^3 t \cos^2 t dt \)。
• 学生写为 \( -64(1 - \cos^2 t)\cos^2 t d(\cos t) \)，但标准答案为 \( x^2\sqrt{4 - x^2} d(x^2) \) 的换元法。学生方法不同，但计算过程...