评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案为 \(y = x e^{1 - \frac{2}{x}}\)，而标准答案为 \(y = x e\)。代入原微分方程 \(x y' + y(\ln x - \ln y) = 0\) 验证：

• 学生计算了 \(y' = \frac{x+2}{x} e^{1 - \frac{2}{x}}\)，代入左边得： \[ x \cdot \frac{x+2}{x} e^{1 - \frac{2}{x}} + x e^{1 - \frac{2}{x}} \left( \ln x - \ln \left( x e^{1 - \frac{2}{x}} \right) \right) \] 化简第二项中的对数： \[ \ln x - \ln \left( x e^{1 - \frac{2}{x}} \right) = \ln x - \left( \ln x + 1 - \frac{2}{x} \right) = -1 + \frac{2}{x} \] 整体为： \[ (x+2) e^{1 - \frac{2}{x}} + x e^{1 - \frac{2}{x}} \left( -1 + \frac{2}{x} \right) = e^{1 - \frac{2}{x}} \left[ x+2 - x + 2 \right] = 4 e^{1 - \frac{2}{x}} \neq 0 \] 不满足微分方程。
• 检查初始条件 \(y(1) = 1 \cdot e^{1 - 2} = e^{-1} \neq e\)，也不满足。

因此，学生的答案不正确。由于核心逻辑错误（不满足微分方程和初始条件），扣4分。

题目总分：0分