评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

第一次识别结果中存在多处错误：

• 将原方程中的“4z”误识别为“48”，导致后续推导错误。
• 计算二阶偏导数时，\(\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}}\) 的表达式写错，应为 \(f'' e^{2x} \cos^2 y + f' e^x \cos y\)，但学生写成了 \(f'e^{x}\cos y + f'e^{x}\cos y\)，缺少二阶导数项且重复一阶导数项。
• \(\frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}}\) 的表达式也写错，应为 \(f'' e^{2x} \sin^2 y - f' e^x \cos y\)，但学生写成了 \(f''e^{2x}\sin y - f'e^{x}\cos y\)，缺少 \(\sin^2 y\) 中的平方。
• 在得到 \(f''_u = 48 + e^x \cos y\) 后，未正确转换为关于 \(u\) 的方程，而是直接写出 \(f''_u - 4f(u) = u\)，逻辑不连贯。
• 通解形式正确，但未使用初始条件求解常数。

由于第一次识别存在严重逻辑错误和计算错误，且未完成题目要求的求解特定解，本次识别得分0分。

（2）得分及理由（满分10分）

第二次识别结果整体正确：

• 正确计算了所有偏导数，并得到 \(\frac{\partial^{2}z}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}z}{\partial y^{2}} = f''(u) e^{2x}\)。
• 正确代入原方程并化简得到常微分方程 \(f''(u) - 4f(u) = u\)。
• 正确求解齐次方程的通解和非齐次方程的特解。
• 得到通解 \(f(u) = C_1 e^{2u} + C_2 e^{-2u} - \frac{1}{4}u\)。
• 但未使用初始条件 \(f(0)=0\) 和 \(f'(0)=0\) 求解常数 \(C_1\) 和 \(C_2\)，因此未得到最终的具体表达式。

由于缺少最后一步使用初始条件求解常数的过程，扣2分。本次识别得分8分。

题目总分：0+8=8分