评分及理由

（1）微分方程求解部分得分及理由（满分4分）

学生正确识别微分方程类型并应用通解公式，得到通解形式为 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + Cx^2\)。但在整理原方程时出现轻微错误：将标准方程 \(y'-\frac{2}{x}y = \frac{2\ln x-1}{2x}\) 误写为 \(y'-\frac{2}{x}y = \frac{1}{x}\ln x-\frac{1}{2x}\)。虽然形式不同，但通过后续验证发现这两个表达式实际相等（\(\frac{2\ln x-1}{2x} = \frac{\ln x}{x}-\frac{1}{2x}\)），属于等价变形。由于最终得到正确通解，此错误不视为逻辑错误。得4分。

（2）确定常数部分得分及理由（满分2分）

学生正确代入初始条件 \(y(1)=\frac{1}{4}\)，利用 \(\ln 1=0\) 准确求出 \(C=\frac{1}{4}\)，得到特解 \(y=\frac{1}{4}x^2-\frac{1}{2}\ln x\)。过程完整正确。得2分。

（3）弧长计算部分得分及理由（满分6分）

学生正确应用弧长公式 \(s=\int_{1}^{e}\sqrt{1+(y')^2}dx\)，准确计算导数 \(y'=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}\)，并正确完成平方展开和化简： \[1+\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}\right)^2 = \frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4x^2} = \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\right)^2\] 在开方时正确取正值得到 \(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2x}\)，最终积分计算准确得到 \(\frac{1}{4}(e^2+1)\)。整个过程逻辑严密，计算正确。得6分。

题目总分：4+2+6=12分