评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生给出的答案是 \(y = xe^x\cos x\)，而标准答案是 \(y = e^{-x}\sin x\)。首先注意到这是一个一阶线性微分方程 \(y' + y = e^{-x}\cos x\)，可以通过积分因子法求解。积分因子为 \(e^x\)，乘以方程两边后得到 \((ye^x)' = \cos x\)，积分得 \(ye^x = \sin x + C\)，代入初始条件 \(y(0) = 0\) 得 \(C = 0\)，因此正确解为 \(y = e^{-x}\sin x\)。

学生的答案 \(y = xe^x\cos x\) 在形式上和正确解完全不同，代入原方程验证：计算 \(y' = e^x\cos x + xe^x\cos x - xe^x\sin x\)，则 \(y' + y = e^x\cos x + xe^x\cos x - xe^x\sin x + xe^x\cos x = e^x\cos x + 2xe^x\cos x - xe^x\sin x\)，这与右边的 \(e^{-x}\cos x\) 不一致，因此答案错误。

由于答案与标准答案完全不符，且验证不满足微分方程，故得0分。

题目总分：0分