评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生作答为"2"，与标准答案一致。该二次型的正惯性指数可以通过配方法或求特征值得到。计算过程如下：

二次型矩阵为：
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

通过配方法：
$f = x_1^2 + 3x_2^2 + x_3^2 + 2x_1x_2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_3$
$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + 2x_2^2 - 2x_2x_3$
$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + 2(x_2^2 - x_2x_3)$
$= (x_1 + x_2 + x_3)^2 + 2(x_2 - \frac{1}{2}x_3)^2 - \frac{1}{2}x_3^2$

由此得到规范形为$y_1^2 + y_2^2 - y_3^2$，正惯性指数为2。

或者通过特征值：矩阵A的特征值为0, 1, 4，正特征值个数为2，故正惯性指数为2。

学生答案正确，得4分。

题目总分：4分