评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

第(Ⅰ)问满分5分。学生通过构造函数求导的方法，分别证明了两个不等式：

• 对于 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)，令 \(f(x) = \ln(1+x) - x\)，求导得 \(f'(x) = -\frac{x}{1+x} < 0\)（当 \(x>0\)），且 \(f(0)=0\)，从而 \(f(x) < 0\)，即 \(\ln(1+x) < x\)，代入 \(x=\frac{1}{n}\) 得证。
• 对于 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})\)，令 \(g(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{x+1}\)，求导得 \(g'(x) = \frac{x}{(x+1)^2} > 0\)（当 \(x>0\)），且 \(g(0)=0\)，从而 \(g(x) > 0\)，即 \(\ln(1+x) > \frac{x}{x+1}\)，代入 \(x=\frac{1}{n}\) 得证。

证明过程严谨，逻辑清晰，与标准答案思路一致（标准答案使用 \(\frac{x}{x+1} < \ln(1+x) < x\) 的结论，学生分别证明两个不等式，但方法正确）。因此得满分5分。

（2）得分及理由（满分5分）

第(Ⅱ)问满分5分。学生证明数列 \(\{A_n\}\) 收敛分为两部分：

• 单调性：计算 \(A_{n+1} - A_n = \frac{1}{n+1} - \ln(1+\frac{1}{n})\)，由(Ⅰ)中 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n})\) 得差小于0，故数列单调递减。此部分正确。
• 有下界：由(Ⅰ)中 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)，推导出 \(\ln(n+1) - \ln n < \frac{1}{n}\)，累加得 \(\ln(n+1) < 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\)，再减去 \(\ln n\) 得 \(\ln(1+\frac{1}{n}) < A_n\)。由于 \(\ln(1+\frac{1}{n}) > 0\)，故 \(A_n > 0\)，数列有下界。此部分正确。

证明完整，逻辑严密，与标准答案思路一致（标准答案使用不等式累加得 \(A_n > \ln\frac{n+1}{n} > 0\)，学生得出 \(A_n > \ln(1+\frac{1}{n}) > 0\)，等价且正确）。因此得满分5分。

题目总分：5+5=10分