评分及理由

（1）得分及理由（满分4分）

学生两次识别结果均为 \(\frac{\pi}{4}\)，而标准答案为 \(\frac{3}{8}\pi\)。计算过程应为：

\(\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{x^{2}+2x+5} dx = \int_{-\infty}^{1} \frac{1}{(x+1)^2+4} dx\)

令 \(t = x+1\)，积分区间变为 \((-\infty, 2]\)，得到：

\(\int_{-\infty}^{2} \frac{1}{t^2+4} dt = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{t}{2}\right)\Big|_{-\infty}^{2} = \frac{1}{2}\left(\arctan(1) - \arctan(-\infty)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{8}\pi\)

学生的答案 \(\frac{\pi}{4}\) 与正确结果不符，存在计算错误，因此得0分。

题目总分：0分