评分及理由

（1）分离变量求解微分方程（满分4分）

学生正确地从原方程得到 \((y^2+1)dy=(1-x^2)dx\)，并正确积分得到通解 \(\frac{1}{3}y^3+y=x-\frac{1}{3}x^3+C\)，且利用初始条件 \(y(2)=0\) 正确求出 \(C=\frac{2}{3}\)。这一部分完全正确，得4分。

（2）求驻点（满分3分）

学生通过原方程推导出 \(y'=\frac{1-x^2}{y^2+1}\)（在第二次识别中体现），并正确得出当 \(y'=0\) 时 \(x=\pm 1\)。但在第一次识别中，学生错误地使用了二阶导数方程 \(2x+2y(y')^2+y^2y''=-y''\) 来求驻点，这是不必要的且逻辑错误。由于第二次识别中正确使用了 \(y'=0\) 的条件，且根据上下文判断第一次识别中的错误可能是误写，因此不扣分。得3分。

（3）判断极值（满分3分）

学生正确计算了 \(y(1)=1\) 和 \(y(-1)=0\)，并通过二阶导数符号判断出 \(x=1\) 时 \(y''<0\)（极大值），\(x=-1\) 时 \(y''>0\)（极小值）。这一部分完全正确，得3分。

题目总分：4+3+3=10分