评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

学生作答分为两部分：第一次识别结果和第二次识别结果。整体思路正确，但存在计算错误和未完成的部分。

• 第一步：学生正确将积分区域转换为极坐标，得到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{1}^{2} \frac{r \sin(\pi r) \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} dr\)，这一步正确，不扣分。
• 第二步：在第二次识别中，学生将积分分离为 \(\left(\int_{1}^{2} r \sin(\pi r) dr\right) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} d\theta\)，这一步正确，不扣分。
• 第三步：计算 \(\int_{1}^{2} r \sin(\pi r) dr\) 时，学生使用分部积分法，但计算错误。正确结果应为 \(-\frac{3}{\pi}\)，但学生计算过程有误，导致结果错误。扣1分。
• 第四步：计算 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta} d\theta\) 时，学生正确利用对称性得到 \(\frac{\pi}{4}\)，这一步正确，不扣分。
• 第五步：学生最终得到原式 \(= -\frac{3}{\pi} \times \frac{\pi}{4} = -\frac{3}{4}\)，与标准答案一致，但基于前面的计算错误，这一步虽结果正确但过程有误，不额外扣分。
• 第六步：学生后续尝试换元法计算，但未完成积分，且过程复杂，未影响最终得分，不扣分。

综上，主要扣分点在于分部积分计算错误，扣1分。其他步骤思路正确，但存在未完成部分，不影响得分。本题得分：9分。

题目总分：9分