评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答整体思路正确，主要步骤完整：

• 正确判断了 \(f(x) \leq x\) 的关系（虽然对后续解题并非必要，但不影响评分）
• 正确推导出 \(f_n(x) = \frac{x}{1+nx}\) 的表达式
• 正确写出 \(S_n = \int_0^1 f_n(x)dx\) 并代入表达式
• 积分计算过程正确：\(\int_0^1 \frac{x}{1+nx}dx = \int_0^1 (1-\frac{1}{1+nx})dx = 1 - \frac{1}{n}\ln(1+n)\)
• 极限计算正确：\(\lim_{n\to\infty} nS_n = \lim_{n\to\infty} [n - \ln(1+n)] = 1\)

虽然学生将 \(n\int_0^1 \frac{x}{1+nx}dx\) 直接写成 \(\int_0^1 \frac{nx}{1+nx}dx\) 然后积分，这与标准答案先积分再乘n的步骤顺序不同，但数学上是等价的，属于正确的解题思路。

最终答案正确，主要逻辑无错误。

扣分项：无

得分：11分

题目总分：11分