评分及理由

（1）得分及理由（满分11分）

学生作答仅完成了部分步骤：

• 正确利用了已知条件 \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2(y+1)\)，这是正确的起点。
• 尝试通过 \(f(y,y)\) 的条件求 \(\frac{\partial f}{\partial x}\)，但推导过程存在逻辑错误。具体来说，学生错误地计算了 \(\frac{\partial f(y,y)}{\partial y}\)，误将其视为对 \(y\) 的偏导数与对 \(x\) 的偏导数的和，而实际上 \(f(y,y)\) 是单变量函数，应使用链式法则或直接代入求解。
• 学生给出了全微分形式 \(df(x,y) = (\ln x - \frac{2}{x} + 1)dx + 2(y+1)dy\)，但基于错误的偏导数，因此全微分也不正确。
• 未能正确求出 \(f(x,y)\) 的表达式，也未进行后续体积计算。
• 由于核心步骤（求 \(f(x,y)\)）错误且未完成题目要求的体积计算，只能给予部分步骤分。

得分：2分（理由：正确写出 \(\frac{\partial f}{\partial y}\) 得1分，尝试利用 \(f(y,y)\) 条件但方法错误得1分，其他步骤错误或缺失）。

题目总分：2分