评分及理由

（1）得分及理由（满分10分）

本题满分10分，学生作答整体思路正确，但在细节处理上存在逻辑错误。

优点：

• 正确定义了函数 \(F(x) = x - \ln^2 x + 2k \ln x - 1\)，并求导得到 \(F'(x) = \frac{x - 2\ln x + 2k}{x}\)。
• 正确将问题分为 \(x<1\) 和 \(x>1\) 两种情况讨论，并注意到 \(F(1)=0\)。
• 在 \(x>1\) 时，正确引入辅助函数 \(g(x) = x - 2\ln x + 2k\)，分析其单调性并计算最小值 \(g(2) \geq 0\)，从而得出 \(F'(x) \geq 0\)，\(F(x)\) 单调递增，\(F(x) \geq F(1)=0\)。
• 在 \(0 0\)，\(F(x)\) 单调递增，\(F(x) < F(1)=0\)。

扣分点：

• 在 \(x<0\) 时，学生错误地讨论了定义域外的情形。原函数 \(F(x)\) 包含 \(\ln x\)，定义域为 \(x>0\)，讨论 \(x<0\) 无意义，属于逻辑错误。扣1分。
• 在 \(00\)，但未给出严格证明（标准答案通过分析 \(g(x)\) 的单调性证明 \(g(x) \geq g(1) \geq 0\)）。虽然结论正确，但论证不完整，扣1分。
• 在 \(x>1\) 时，学生提到 \(F(2)=2-\ln 2+2k \geq 0\)，但实际应为 \(F(2)=2-\ln^2 2+2k\ln 2-1\)，此处计算有误，但未影响后续推理，属于轻微错误，扣0.5分。

综上，扣除2.5分，得7.5分。

题目总分：7.5分