评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

本题考察三重积分计算。题目给出的曲线 \( z^2 = 2x \) 绕 \( x \) 轴旋转后，曲面方程为 \( y^2 + z^2 = 2x \)。积分区域 \( \Omega \) 由该旋转曲面与平面 \( x = 1 \)、\( x = 2 \) 围成，被积函数为 \( \frac{1}{x^2 + y^2 + z^2} \)。

使用柱坐标变换（\( y = r\cos\theta, z = r\sin\theta \)）时，旋转曲面方程为 \( r^2 = 2x \)，即 \( r = \sqrt{2x} \)。积分区域在 \( x \) 方向从 1 到 2，\( r \) 从 0 到 \( \sqrt{2x} \)，\( \theta \) 从 0 到 \( 2\pi \)。被积函数变为 \( \frac{1}{x^2 + r^2} \)，体积元为 \( r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}x \)。

积分计算为： \[ I = \int_1^2 \mathrm{d}x \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{\sqrt{2x}} \frac{r}{x^2 + r^2} \,\mathrm{d}r. \] 对 \( r \) 积分：令 \( u = x^2 + r^2 \)，则 \( \mathrm{d}u = 2r\,\mathrm{d}r \)，积分结果为 \( \frac{1}{2} \ln(x^2 + r^2) \big|_{r=0}^{r=\sqrt{2x}} = \frac{1}{2} \ln(3x^2) - \frac{1}{2} \ln(x^2) = \frac{1}{2} \ln 3 \)。 对 \( \theta \) 积分得 \( 2\pi \)，对 \( x \) 积分得 \( \int_1^2 \mathrm{d}x = 1 \)。因此总积分为 \( 2\pi \cdot \frac{1}{2} \ln 3 \cdot 1 = \pi \ln 3 \)。

但标准答案为 \( 3\pi \ln \frac{4}{3} \)，学生答案为 \( \pi \ln \frac{64}{27} \)...