评分及理由

（1）得分及理由（满分5分）

学生第一次识别结果为 \(1 - e^{-\frac{1}{2y}}\)，第二次识别结果为 \(1 - e^{-\frac{1}{a}}\)。这两个结果均与标准答案 \(e^{-\frac{1}{2}}\) 不一致。

标准答案的推导过程应为：首先计算分布函数 \(F_X(x) = \int_0^x \frac{t}{2} dt = \frac{x^2}{4}\)（当 \(0 < x < 2\)），然后代入 \(Y = -\ln[1 - F_X(X)] = -\ln\left(1 - \frac{X^2}{4}\right)\)。由于 \(F_X(X)\) 服从均匀分布 \(U(0,1)\)，因此 \(1 - F_X(X)\) 也服从 \(U(0,1)\)，从而 \(Y = -\ln U\)（其中 \(U \sim U(0,1)\)）服从参数为1的指数分布。于是 \(P\{Y > \frac{1}{2}\} = e^{-\frac{1}{2}}\)。

学生的答案在形式上是错误的，且没有正确的推导逻辑，因此得0分。

题目总分：0分